Showing posts with label Matematika SMA. Show all posts
Showing posts with label Matematika SMA. Show all posts
Cara Melengkapkan kuadrat sempurna dan Rumus ABC

Cara Melengkapkan kuadrat sempurna dan Rumus ABC

Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Setiap nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat disebut akar atau penyelesaian dari persamaan kuadrat. himpunan dari akar-akar persamaan kuadrat dinamakan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat.

Untuk menentukan akar - akar persamaan kuadrat atau himpunan penyelesaiannya dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut :

1. Pemfaktoran
    Memfaktorkan adalah mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk perkalian. Bentuk  ax2 + bx + c = 0 diubah menjadi bentuk perkalian a(x- α) (x - β) = 0.

Selanjutnya kita ingat bahwa suatu perkalian bernilai nol apabila salah satu faktornya nol sehingga :
a(x- α) (x - β) = 0
x- α = 0 atau x - β = 0
x = α atau x = β

jadi akar-akarnya adalah  α dan  β

Contoh : Carilah akar-akar persamaan kuadrat  x2 + 12x + 20 = 0
penyelesaian
                     x2 + 12x + 20 = 0
                     (x - 2) (x - 10) = 0
                      x - 2 = 0 atau   x - 10 =0
                      x = 2       atau x = 10
jadi, akar-akar persamaan x2 + 12x + 20 = 0 adalah 2 dan 10. Sehingga himpunan penyelesaiannya dapat ditulis HP={2, 10}

2. Melengkapkan kuadrat sempurna
     Tidak Semua persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan pemfaktoran maka muncul lah cara melengkapkan bentuk sempurna. Persamaan kuadrat yang tidak bisa difaktorkan dapat diselesaikan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna yaitu mengubah ax2 + bx + c = 0 menjadi bentuk (x+p)= q

sehingga   x + p =  ±√q
                   x = - p ±√q

Contoh : Carilah akar - akar persamaan kuadrat x2 - 4x - 1 = 0
penyelesaian 
                    x2 - 4x - 1 = 0
                         x2 - 4x = 1  
                   x2 - 4x + 4 = 1 + 4 kenapa ditambah 4? karena (1/2 x b)2 = 4  
                         (x-2)2  = 5
                             x -2 =  ±√5
                                 x = 2 ±√5
jadi, akar-akarnya adalah 2+√5 dan 2 - √5. Himpunan penyelesaiannya yaitu Hp = {2+√5 , 2 - √5}
3. Rumus ABC


     Rumus ABC diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan kuadrat sempurna dalam bentuk x. Dimana R adalah bilangan real dan a ≠ 0.

Rumus ABC diperoleh dengan menurunkan persamaan kuadrat. Klik disini cara menurunkan rumus ABC

Persamaan kuadrat dapat ditemukan dengan rumus ABC sebagai berikut :
Rumus ABC untuk menentukan akar persamaan kuadrat
Dengan menerapakan rumus diatas akan diperoleh akar-akar persamaan kuadrat.
Memahami Persamaan Kuadrat Dan Akar-Akarnya

Memahami Persamaan Kuadrat Dan Akar-Akarnya

Memahami Persamaan Kuadrat Dan Akar-AKarnya.
A. Definisi Persamaan Kuadrat
     Persamaan kuadrat merupakan suatu persamaan polynomial yang memiliki pangkat tertinggi dua dan berbentuk parabola jika digambarkan pada bidang cartsesius.

Bentuk baku dari persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai berikut :
                  ax2 + bx + c = 0 dengan a, b, c є  R dimana R adalah bilangan real dan a ≠ 0.


B. Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
      Setiap nilai x yang memenuhi suatu persamaan kuadrat disebut akar atau penyelesaian dari persamaan kuadrat. Himpunan dari akar-akar persamaan kuadrat dinamakan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat.

Ada beberapa cara yang biasa dipakai untuk menyelesaikan suatu persamaan kuadrat atau menentukan akar-akar persamaan kuadrat.

Berikut adalah cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat :
a. Pemfaktoran
     Memfaktorkan adalah mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk perkalian. Bentuk  ax2 + bx + c = 0 diubah menjadi bentuk perkalian a(x- α) (x - β) = 0.

b. Melengkapkan kuadrat sempurna
     Tidak Semua persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan pemfaktoran maka muncul lah cara melengkapkan bentuk sempurna.

c. Rumus ABC
     Rumus ABC diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan kuadrat sempurna dalam bentuk x. Dimana R adalah bilangan real dan a ≠ 0.


C. Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat
      Berdasarkan penentuan akar-akar pada penjelasan sebelumnya akan diperoleh akar-akar atau himpunan penyelesaian dengan sifat-sifat sebagai berikut :
a. Kedua akar nyata dan berbeda
    Dalam hal ini maka nilai x1 dan  xmemiliki nilai berbeda. Hal ini dapat terjadi pada persamaan kuadrat yang memiliki D > 0 atau ( b2 - 4ac > 0 )

b. Kedua akar real sama (kembar)
    Dalam hal ini maka nilai x1 dan  x2  memiliki nilai sama satu sama lain (kembar). Hal ini dapat terjadi pada persamaan kuadrat yang memiliki D = 0 atau  ( b2 - 4ac = 0)

c. Kedua akar tidak nyata (khayal)
    Dalam hal ini maka nilai x1 dan  xadalah bilangan imajiner. Dalam hal ini dapat terjadi pada persamaan kuadrat yang memiliki D < 0 atau  (b2 - 4ac < 0).
Sifat-Sifat Relasi Dan Fungsi Beserta Contohnya

Sifat-Sifat Relasi Dan Fungsi Beserta Contohnya

A. Sifat - Sifat Relasi
Relasi dapat dinyatakan dengan definisi sebagai berikut "
"Misalkan A dan B adalah himpunan. Relasi dari himpunan A dan B dihubungkan dengan aturan pengaitan/pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B".

Terdapat sifat-sifat dari relasi sebagai berikut.
1. Sifat Reflektif
    Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika untuk setiap p є P berlaku (p,p) є R. 

Contoh : Diberikan himpunan P = {1,2,3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan S={(1,1,), (1,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Relasi R tersebut bersifat reflektif sebab setiap anggota himpunan P berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.

2. Sifat Simetris
    Misalkan R sebuah relasi pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat simetris apabila untuk setiap (x,y) є R berlaku (y, x) є R.

Contoh : Diberikan himpunan P = {1,,2,3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan R = {(1,1,), (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R bersifat simetris sebab untuk setiap (x,y) є R berlaku (y,x) є R.

3. Sifat Transitif
    Misalkan R sebuah relasi pada himpunan P. Relasi R bersifat transitif apabila untuk setiap (x,y) є R dan (y,z) є R maka berlaku (x,z) є R.

Contoh : Diberikan himpunan P={1,2,3} didefinisikan relasi pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan R={(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat transitif sebab (x,y) є R dan (y,z) є R maka berlaku (x,z) є R. 

4. Sifat Antisimetris
    Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat antisimetri apabila untuk setiap x,y) є R dan (y, x) є R maka berlaku (y = x) є R. 

Contoh : Diberikan himpunan C = {2, 4, 5}. Didefinisikan R pada himpunan C dengan R = {(a,b)  є a kelipatan b} sehingga diperoleh R= {(2,2), (4,4), (5,5) (4,2)} Relasi R tersebut bersifat antisimetris.

Relasi juga memiliki pendefinisian sebagai berikut :
" Misalkan R sebuah relasi pada himpunan P. Relasi R dikatakan relasi ekuivalensi jika dan hanya jika relasi R memnuhi sifat reflektif, simetris, dan transitif".

B. Sifat - Sifat Fungsi
     Fungsi dapat dinyatakan dengan definisi sebagai berikut:
"Misalkan A dan B adalah himpunan. Fungsi f dari A ke B adalah suatu aturan pengaitan yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.

Dapat disimbolkan dengan f : A --> B, dibaca fungsi f meemtakan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.

Untuk memahami sifat fungsi dapat mempelajari berdasarkan jenis-jenis fungsi seperti fungsi naik dan turun, fungsi ganjil dan genap. Hal ini akan dibahas pada pertemuan berikutnya.
Memahami Definsi Relasi Dan Fungsi SMA Kelas X

Memahami Definsi Relasi Dan Fungsi SMA Kelas X

A. Definisi Relasi
     Relasi dapat dinyatakan dengan definisi sebagai berikut "
"Misalkan A dan B adalah himpunan. Relasi dari himpunan A dan B dihubungkan dengan aturan pengaitan/pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B".

Dengan catatan relasi dapat terbentuk apabila terdapat dua himpunan / kelompok yang memiliki anggota yang akan dipasangkan satu dengan yang lain. Himpunan A merupakan daerah asal dan himpunan B adalah daerah kawan. Sedangkan daerah hasil adalah irisan himpunan A dan B (AnB)

Relasi juga dapat terbentuk apabila ada turan yang mengaitkan antara anggota himpunan yang satu dengan anggota himpunan lain.

Daerah asal atau biasa disebut domain suatu relasi yaitu himpunan tidak kosong dimana sebuah relasi didefinisikan.

Daerah kawan atau biasa disebut kodomain suatu relasi adalah himpunan tidak kosong dimana anggota domain memiliki pasangan sesuai relasi yang didefinisikan.

Daerah hasil atau biasa disebut range suatu relasi adalah sebuah himpunan bagian dari daerah kawan (kodomain) yang anggotanyan adalah pasangan anggota domain yang memenuhi relasi yang didefinisikan.

contoh :
Dari gambar diatas dapat kita ketahui bahwa yang menjadi relasinya adalah makanan kesukaan. Karena yang menghubungkan himpunan siswa ke himpunan makanan yaitu makanan kesukaan.

Berdasarkan contoh diatas yang menjadi daerah asal adalah himpunan siswa. Sedangkan yang menjadi daerah kawan adalah himpunan makanan. Kemudian yang menjadi daerah hasil adalah anggota himpunan makanan yang memiliki relasi dengan himpunan siswa.

B. Definisi Fungsi

     Fungsi dapat dinyatakan dengan definisi sebagai berikut:
"Misalkan A dan B adalah himpunan. Fungsi f dari A ke B adalah suatu aturan pengaitan yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.

Dapat disimbolkan dengan f : A --> B, dibaca fungsi f meemtakan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.

 Terdapat dua ciri-ciri suatu relasi dikatakan fungsi sebagai berikut :
1. Semua anggota himpunan daerah asal memiliki pasangan dengan anggota himpunan daerah kawan
2. Semua anggota himpunan daerah asal memiliki pasangan tunggal dengan anggota himpunan daerah kawan.

Dari gambar diperoleh bahwa relasi yang pertama (gambar dikiri) memenuhi definisi dikatakan fungsi. Sedangkan pada relasi kedua (gambar kanan) tidak lah sebuah fungsi karena terdapat anggota himpunan daerah asal (Himpunan P) memiliki lebih dari satu pasangan.
Sifat-Sifat Logaritma SMA Kelas X

Sifat-Sifat Logaritma SMA Kelas X

Logaritma adalah kebalikan dari eksponen

A. Logaritma
Logaritma adalah kebalikan dari bilangan eksponen. Jika halnya dalam eksponen dengan bilangan berpangkat yaitu an = x (dibaca: a pangkat n sama dengan x) . Maka dapat dinyatakan kedalam logaritma sebagai berikut: 
                                          alog x = n
Keterangan :
                    a = bilangan pokok atau basis logaritma
                    x = numerus 
                    n = hasil logaritma 

Contoh :     3log 81 = 4         karena untuk mencari 81 = 34
                   5log 25 = 2         karena untuk mencari 25 = 52                
                   2log 32 = 5         karena untuk mencari 32 = 25

Dengan demikian disimpulkan bahwa untuk mendapatkan hasil logaritma suatu bilangan maka bilangan tersebut harus diubah kedalam bentuk perpangkatan dengan bilangan pokok sama dengan bilangan pokok bentuk logaritmanya. 

B. Sifat - Sifat Logaritma
     Dalam logaritma terdapat beebrapa sifat yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu permasalah logaritma. Berikut sifat-sifat logaritma :

a. Sifat 1    
                               alog a = 1   

artinya jika setiap bilangan pokok dan numerus nya bernilai sama maka akan menghasilkan sama dengan 1. Hal ini disebabkan oleh a =  a1  Sesuai dengan sifat-sifat eksponen sebelumnya.                       
b. Sifat 2
                               alog 1 = 0   
artinya untuk setiap bilangan numerusnya adalah 1 maka hasil logaritmanya akan selalu bernilai 0. Hal ini disebabkan karena 1 =  aSesuai dengan sifat-sifat eksponen pada pembahasan sebelumnya.
c. Sifat 3
                            alog b +  alog c =  alog bc
artinya dua logaritma yang mempunyai bilangan pokok yang sama apabila dijumlahkan akan menghasilkan nilai yang sama dengan logaritma dengan bilangan pokok tersebut dengan numerusnya adalah perkalian kedua numerus masing-masing.

d. Sifat 4
                            alog b -  alog c =  alog b/c
artinya dua logaritma yang mempunyai bilangan pokok yang sama apabila dikurangkan akan menghasilkan nilai yang sama dengan logaritma dengan bilangan pokok tersebut dengan numerusnya adalah pembagian kedua numerus masing-masing dengan penyebut adalah numerus bilangan logaritma yang pertama. 

e. Sifat 5
                             alog xn = n . alog x
Artinya dalam bilangan logaritma terdapat numerus adalah bilangan eksponen maka pangkatnya dapat dijadikan koefisien dari bilangan logaritma tersebut.

f. Sifat 6
                             

g. Sifat 7
                          alog b. blog c =  alog c
Artinya jika dua bilangan logaritma dikalikan dengan numerus pada bilangan pertama adalah sama dengan bilangan pokok pada bilangan kedua maka hasil logaritmanya akan menghasilkan seperti diatas.
Memahami Eksponen SMA Kelas X K-13

Memahami Eksponen SMA Kelas X K-13

A. Eksponen
Definisi eksponen adalah nilai yang menunjukkan derajat kepangkatan (berapa kali bilangan tersebut dikalikan dengan bilangan tesebut juga). 

Bentuknya an (dibaca: a pangkat n) disebut bentuk eksponensial atau perpangkatan. 
Keterangan :
                  a disebut dengan bilangan pokok (basis) 
                  n disebut eksponennya.

Dalam eksponen terdapat beberapa bentuk pangkat yaitu pangkat bulat negatif dan pangkat bulat positif serta pangkat nol.

1. Pangkat Nol
Pada pangkat berikut untuk setiap bilangan poko dengan pangkatnya adalah nol (n = 0) akan menghasilkan nilai perpangkatannya menjadi sama dengan 1.
Contoh :
                 a0 = 1
                 7= 1
                 5= 1
Pembuktian : Diketahui bahwa    4/4   = 1
                                                  2/ 22 = 1
                                                    22-2   = 1
                                                       20   = 1
Demikian seterusnya untuk setiap nilai a dipangkatkan dengan nol akan menghasilkan nilai sama dengan 1.

2. Pangkat Bulat Positif
Definis pangkat bulat positif yaitu jika a adalah bilangan real dan n adalah bilangan bulat positif lebih dari 1 maka an (dibaca: a pangkat n) adalah hasil perkalian n buah faktor yang setiap faktornya sama.
                                                       
                                                 an = a x a x a x ... x a

Sifat - Sifat Bilangan Berpangkat Bulat positif adalah sebagai berikut :
a. Sifat Perkalian
    Jika dua bilangan berpangkat yang mempunyai bilangan pokoknya sama dikalikan satu sama lain maka akan menghasilkan bilangan pokok denga penjumlahan pangkat masing-masing.

Atau dapat dinyatakan sebagai berikut :   aaam+n
Contoh :  32 x 34 = (3x3) x (3x3x3x3)
                            = 32+4             
                            = 36

                 4x 43x 4 = (4x4) x (4x4x4) x 4
                                  = 42+3+1
                                  = 46

b. Sifat Pembagian
     Jika dua bilangan berpangkat yang mempunyai bilangan pokok sama dibagi satu sama lain makan akan menghasilkan bilangan pokok dengan pangkat penyebut dikurangi pangkat pembilang.

Atau dapat dinyatakan sebagai berikut       aaam - n
Contoh : 34 : 32 = (3x3x3x3) :  (3x3)
                          =  34-2
                          =  32

c. Sifat Perpangkatan 
Jika suatu bilangan berpangkat m dipangkatkan dengan bilangan n maka akan menghasilkan bilangan berpangkat dengan pangkat perkalian m dan n. 

Atau dapat digambarkan sebagai berikut :       (am)n =  amxn
Contoh :  (23)2 = (2x2x2)2
                             = 22 x 22 x 22
                        = 22+2+2
                             = 26
                        = 23x2

3. Pangkat Bulat Negatif
    Pangkat bulat negatif didefinisi dengan jika a bilangan real dan n adalah bilangan bulat positif maka a- n adalah pembagian antara 1 dengan bilangan berpangkat an.
Materi Pelajaran Matematika Kurikulum 2013

Materi Pelajaran Matematika Kurikulum 2013

Matematika adalah bahasa universal untuk menyajikan gagasan atau pengetahuan secara formal dan presisi sehingga tidak memungkinkan terjadinya multi tafsir. Penyampaiannya adalah dengan membawa gagasan dan pengetahuan konkret ke bentuk abstrak melalui pendefinisian variabel dan parameter sesuai dengan yang ingin disajikan. Penyajian dalam bentuk abstrak melalui matematika akan mempermudah analisis dan evaluasi selanjutnya. 

Kurikulum 2013 adalah sebuah kurikulum dimana metode yang digunakan kebanyakan adalah diskusi untuk peserta didik. Murid yang aktif mencari informasi, sedangkan pengajar hanya memberi instruksi. 
Seiring pergantian kurikulum materi pelajaran matematika pada kurikulum 2013 juga mengalami sedikit perubahan pada berbagai tingkatan kelas.

Berikut adalah materi kurikulum 2013 yaitu :

Pelajaran Matematika Kelas X
  • Eksponen Dan Logaritma
  • Persamaan Linier Dan Pertidaksamaan Linier
  • Sistem Persamaan Linear Dan Pertidaksamaan Linear
  • Matriks
  • Relasi Dan Fungsi
Pelajaran Matematika Kelas XI
  • Program Linear
  • Matriks
  • Persamaan Garis Lurus dan Persamaan Kuadrat
  • Barisan Dan Deret Tak Hingga
  • Trigonometri
  • Statistika
  • Aturan Pencacahan
  • Lingkaran
  • Transformasi
  • Turunan
  • Integral
Pelajaran Matematika Kelas XII
  • Matriks
  • Bunga Pertumbuhan dan Peluruhan
  • Induksi MAtematika 
  • Integral Tertentu

Matematika merupakan pelajaran yang sangat penting dan harus dikuasai oleh setiap siswa. Guru memiliki peranan penting untuk mewujudkan hal tersebut.
Model Matematika Permasalahan Program Linear

Model Matematika Permasalahan Program Linear

Model matematika merupakan penerjemahan permasalahan sehari-hari ke dalam kalimat matematika. Pada umumnya, model matematika pada program linier terdiri atas pertidaksamaan linear sebagai fungsi kendala dan sebuah fungsi objektif. 

Contoh : Rina seorang lulusan tata boga membuat dua jenis kue untuk dijual di kantin yaitu kue lupis dan kue kelepon. Untuk membuat satu adonan kue lupis, diperlukan 300 gram tepung terigu dan 40 gram mentega. Untuk satu adonan kue kelepon diperlukan 200 gram tepung terigu dan 60 gram mentega. Rina memiliki persediaan 12 kg tepung terigu dan 3 kg mentega. Keuntungan dari satu adonan kue lupis adalah Rp. 30.000,00 dan satu adonan kue kelepon Rp.25.000,00. Berapa banyak adonan kue lupis dan kue kelepon yang harus dibuat agar diperoleh jumlah kue sebanyak-banyaknya?.

Penyelesaian : Stephen Hawking Meninggal Di Hari Kelahiran Albert Einstein?
            Agar lebih mudah dalam membuat model matematika, masukkan informasi pada soal cerita kedalam tabel berikut :

Bahan yang diperlukan
Jenis Kue
Bahan yang tersedia
Kue Lupis
Kue Kelepon
Terigu
300 gram
200 gram
12.000 gram
Mentega
40 gram
60 gram
3.000 gram

Misalkan x adalah banyaknya adonan kue lupis dan y adalah banyaknya adonan kue kelepon. Dari tabel tersebut dapat dibuat model matematika sebagai berikut :

300x + 200y ≤ 12.000           ---- >         3x + 2y ≤120
40x + 60 y ≤ 3.000               ---- >          2x + 3y ≤150

Banyaknya adonan kue tidak mungkin bernilai negatif maka x ≥ 0 dan y 0. Sedangkan fungsi objektifnya adalah f(x,y) = x + y (jumlah kue lupis dan kue kelepon yang dapat dibuat).