Pengertian Program Linear  Kelas XI MIA SMA

Pengertian Program Linear Kelas XI MIA SMA

Program linear merupakan salah satu ilmu matematika yang digunakan untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsi objektif dengan kendala tertentu. Dalam kehidupan sehari-hari sering ditemukan berbagai persoalan yang berkaitan dengan masalah memaksimum dan meminimumkan dengan sumber terbatas.

Masalah-masalah tersebut sering dijumpai dalam bidang industri, jasa, kooperasi juga dalam bidang perdagangan. Rina seorang lulusan tata boga membuat dua jenis kue untuk dijual di kantin yaitu kue lupis dan kue kelepon. Untuk membuat satu adonan kue lupis, diperlukan 300 gram tepung terigu dan 40 gram mentega. Untuk satu adonan kue kelepon diperlukan 200 gram tepung terigu dan 60 gram mentega. Rina memiliki persediaan 12 kg tepung terigu dan 3 kg mentega. Keuntungan dari satu adonan kue lupis adalah Rp. 30.000,00 dan satu adonan kue kelepon Rp.25.000,00. Berapa banyak adonan kue lupis dan kue kelepon yang harus dibuat agar diperoleh jumlah kue sebanyak-banyaknya?.

A. Model matematika permasalahan program linear 

Model matematika merupakan penerjemahan permasalahan sehari-hari ke dalam kalimat matematika. Pada umumnya, model matematika pada program linear terdiri atas pertidaksamaan sebagai fungsi kendala dan sebuah fungsi objektif. 

Contoh : Rina seorang lulusan tata boga membuat dua jenis kue untuk dijual di kantin yaitu kue lupis dan kue kelepon. Untuk membuat satu adonan kue lupis, diperlukan 300 gram tepung terigu dan 40 gram mentega. Untuk satu adonan kue kelepon diperlukan 200 gram tepung terigu dan 60 gram mentega. Rina memiliki persediaan 12 kg tepung terigu dan 3 kg mentega. Keuntungan dari satu adonan kue lupis adalah Rp. 30.000,00 dan satu adonan kue kelepon Rp.25.000,00. Berapa banyak adonan kue lupis dan kue kelepon yang harus dibuat agar diperoleh jumlah kue sebanyak-banyaknya?.
Agar lebih mudah dalam membuat model matematika, masukkan informasi pada soal cerita kedalam tabel berikut :


Bahan yang diperlukan
Jenis Kue
Bahan yang tersedia
Kue Lupis
Kue Kelepon
Terigu
300 gram
200 gram
12.000 gram
Mentega
40 gram
60 gram
3.000 gram

Misalkan x adalah banyaknya adonan kue lupis dan y adalah banyaknya adonan kue kelepon. Dari tabel tersebut dapat dibuat model matematika sebagai berikut :
300x + 200y 12.000           ---- >         3x + 2y 120
40x + 60 y 3.000               ---- >          2x + 3y 150
Banyaknya adonan kue tidak mungkin bernilai negatif maka x  0 dan y  0. Sedangkan fungsi objektifnya adalah f(x,y) = x + y (jumlah kue lupis dan kue kelepon yang dapat dibuat).
Beberapa Contoh Indikator Kemampuan Pemecahan Masalah

Beberapa Contoh Indikator Kemampuan Pemecahan Masalah

A. Kemampuan Pemecahan Masalah
Adapun pemecahan masalah secara sederhana, merupakan proses penerimaan masalah sebagai tantangan untuk menyelesaikan masalah tersebut. Dalam menyelesaikan masalah, diharapkan dapat memahami proses menyelesaikan masalah tersebut dan menjadi terampil didalam memilih dan mengidentifikasikan kondisi dan konsep yang relevan, mencari generalisasi, merumuskan rencana penyelesaian dan mengorganisasikan keterampilan yang telah dimiliki sebelumnya.
Sebuah kerangka kerja untuk memecahkan suatu masalah telah dijelaskan oleh G. Polya. Teknik pemecahan masalah yang dijelaskan oleh Polya difokuskan untuk memecahkan masalah dalam bidang matematika, tetapi prinsip-prinsip yang dikemukakan dapat digunakan pada masalah-masalah umum. Polya untuk mengukur kemampuan pemecahan masalah matematik dapat dilihat dari empat indikator .
B. Indikator Pemecahan Masalah
Dalam melihat kemampuan seseorang menyelsaikan suatu permasalahan yang ada sesuai dengan proses yang ada. Terdapat 4 indikator dalam mengukur kemampuan pemecahan masalah matematika sebagai berikut :

1. Memahami Masalah (understanding the problem)
Langkah pertama adalah membaca masalah dan meyakinkan bahwa kita memahaminya secara benar. Tanyalah pada diri kita dengan pertanyaan berikut :
a)      Apa yang tidak diketahui atau apa yang ditanyakan?
b)      Data apa yang diberikan?
c)      Bagaimana kondisi soal?
d)     Buatlah gambar dan tuliskan notasi yang sesuai.
Untuk beberapa masalah biasanaya dibutuhkan untuk membuat beberapa notasi atau model matematikanya, seperti persamaan matematika, diagram, tabel dan gambar. Memahami masalah juga berarti bahwa kita harus mengumpulkan fakta yang ada pada persoalan. Dalam memilih lambang untuk besaran yang tidak diketahui digunakan suatu notasi, misalnya a, b, m, x, ... dan seterusnya.
2. Merencanakan Pemecahan (devising a plan)
Membuat rencana merujuk pada penyusunan model matematika dari masalah. Dengan demikian, dalam menyelesaikan masalah dibutuhkan kemampuan untuyk menganalisa masalah apakah :
a)      Pernakah ada soal ini sebelumnya? Adakah soal yang sama atau serupa dalam bentuk lain?
b)      Pernah ada solusi masalah yang mirip dengan soal ini? Teori mana yang dapat digunakan dalam masalah ini?
c)      Perhatikan yang ditanyakan! Coba pikirkan soal yang pernah diketahui dengan pertanyaan yang sama atau serupa?
d)     Jika ada soal yang serupa, dapatkah pengalaman yang lama digunakan dalam masalah sekarang? Dapatkah anda menyatakannya dalam bentuk lain? Kembalikan ke definisi. Andaikan soal baru belum dapat diselesaikan, coba pikirkan soal serupa dan selesaikan

3. Melaksanakan Rencana Penyelesaian Masalah (carry-ingout the plan)

Melaksanakan rencana merujuk pada penyelesaian model matematika. Sehingga kemampuan yang dituntut pada tahap ini antara lain :
a)      Melaksanakan rencana pemecahan dan memeriksa tiap langkah pemecahannya?
b)      Memeriksa apakah semua langkah sudah benar?
c)      Dapatkah dibuktikan apakah langkah tersebut sudah benar?

4. Pengecekan kembali kebenaran penyelesaian (Looking back)

Sedangkan menelaah kembali berkaitan pemeriksaan solusi apakah sudah sesuai atau benar, apakah ada jawaban lain atau apakah ada cara lain? Maka perlu diperhatikan :
(a)    Bagaiman cara memeriksa kebenaran hasil yang diperoleh?
(b)   Dapatkah diperiksa sanggahannya?
(c)    Dapatkah dicari hasil itu dengan cara lain?
(d)   Dapatkah anda mencari hasilnya dengan cara yang berbeda?
(e)    Dapatkah hasil atau cara itu digunakan untuk masalah lain?

Solusi yang diperoleh harus ditinjau kembali untuk meyakinkan bahwa solusi tersebut adalah benar. Ini juga memungkinkan untuk mencari kemungkinan penyelesaian lain. Dari penjelasan diatas dapat disimpulkan bahwa kemampuan pemecahan masalah adalah kemampuan siswa dalam menyelesaikan suatu masalah matematika yang memuat indikator pemecahan masalah, yaitu : (1) membuat model matematika dari masalah; (2) memilih strategi atau cara pemecahan masalah yang tepat; (3) menerapkan strategi dan memecahkan masalah; (4) membuat kesimpulan.
Cara Menyelesaikan SPLDV Dengan Metode Grafik

Cara Menyelesaikan SPLDV Dengan Metode Grafik

Sistem Persamaan Linier Dua Variabel adalah suatu sistem persamaan yang variabel-variabel dari persamaan tersebut berpangkat satu. Sistem persamaan liner dua variabel terdiri atas dua persamaan linier yang masing-masing bervariabel dua.

Grafik untuk persamaan linear dua variabel berbentuk garis lurus. Bagaimana dengan ? Ingat,  terdiri atas dua buah persamaan dua variabel, berarti  digambarkan berupa dua buah garis lurus. Penyelesaian dapat ditentukan dengan menentukan titik potong kedua garis lurus tersebut. Untuk lebih jelasnya, coba perhatikan dan pelajari contoh berikut
Gunakan metode grafik, tentukanlah penyelesaian  berikut.
x + y = 6
2x + y = 8
Jawab:
Langkah pertama, menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y padamasing-masing persamaan linear dua variabel.
Persamaan x + y = 6
Titik potong dengan sumbu x, berarti y = 0.
x + y = 6
x + 0 = 6
      x = 6
Diperoleh x= 6 dan y = 0, maka diperoleh titik potong dengan sumbu x dititik (6,0). Titik potong dengan sumbu y, berarti x = 0.
          x + y = 6
          0 + y = 6
                y = 6
Diperoleh x = 0 dan y = 6, maka diperoleh titik potong dengan sumbu y dititik (0,6).
Persamaan 2x + y = 8
Titik potong dengan sumbu x, berarti y = 0.
2x + y = 8
2x + 0 = 8
       2x = 8
        x = 4
Diperoleh x = 4 dan y = 0 maka diperoleh titik potong dengan sumbu x dititik (4,0). Titik potong dengan sumbu y, berarti x = 0.
          2y = 8
          2(0) + y = 8
                     y = 8
Diperoleh x = 0 dan y = 8 maka diperoleh titik potong dengan sumbu y dititik (0,8).
Langkah kedua, gambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius.
Persamaan x + y = 6 memiliki titik potong sumbu di (6,0) dan (0,6)
Persamaan 2x + y = 8 memiliki titik potong sumbu di (4,0) dan (0,8)
Perhatikan grafik berikut.

Contoh grafik SPLDV
Langkah ketiga, tentukan himpunan penyelesaian  berikut.
Perhatikan gambar tersebut, titik potong antara garis x + y = 6 dan 2x + y = 8 adalah (2,4).  Jadi, Hp = {(2,4)}. 
Cara Menyelesaikan SPLDV Dengan Metode Substitusi - Eliminasi

Cara Menyelesaikan SPLDV Dengan Metode Substitusi - Eliminasi

Menyelesaikan SPLDV Dengan Metode Sustitusi - Eliminasi
A. Metode Substitusi
Penyelesaian  menggunakan metode substitusi dilakukan dengan cara menyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel yang lain kemudian nilai variabel tersebut menggantikan variabel yang sama dalam persamaan yang lain. Adapun langkah-langkah yang dapat dilakukan untuk menentukan penyelesaian  dengan menggunakan metode substitusi dapat kamupelajar i dalam contoh soal berikut.
Gunakan metode substitusi untuk menentukan penyelesaian  berikut.
x + y = 6
2x + y = 8
Jawab:
Langkah pertama, tuliskan masing-masing persamaan dalam bentuk persamaan (1) dan (2).
x + y= 6              …(1)
2x+ y = 8            …(2)
Langkah kedua, pilih salah satu persamaan, misalkan persamaan (1). Kemudian,
nyatakan salah satu variabelnya dalam bentuk variabel lainnya.
x + y = 6
      y = 6 – x                   … (3)
Langkah ketiga, nilai variabel y pada persamaan (3) menggantikan variabel y pada
persamaan (2).
       2x + y = 8
2x + 6 – x = 8
        x + 6 = 8
              x = 2                 …(4)
Langkah keempat, nilai x pada persamaan (4) menggantikan variabel x pada salah
satu persamaan awal, misalkan persamaan (1).
x + y = 6
2 + y = 6
    y = 4                        …(5)
Langkah kelima, menentukan penyelesaian  tersebut. Dari uraian diperoleh nilai x = 2 dan y = 4. Jadi, dapat dituliskan Hp = {(2,4)}.

B. Metode Eliminasi

Berbeda dengan metode substitusi yang mengganti variabel, metode eliminasi justru menghilangkan salah satu variabel untuk dapat menentukan nilai variabel yang lain. Dengan demikian, koefisien salah satu variabel yang akan dihilangkan haruslah sama atau dibuat sama. Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan dan pelajari contoh soal berikut
Contoh Soal
Gunakan metode eliminasi untuk menentukan penyelesaian  berikut.
   x + y = 6
2x + y = 8
Jawab:
Langkah pertama, menghilangkan salah satu variabel dari  tersebut. Misalkan, variabel y yang akan dihilangkan maka kedua persamaan harus dikurangkan.
  x + y = 6
          2x + y = 8­-
                - x = - 2
                  x = 2
diperoleh nilai x = 2.


Langkah kedua, menghilangkan variabel yang lain dari tersebut, yaitu variabel x. Perhatikan koefisien x pada tersebut tidak sama. Jadi, harus disamakan terlebih dahulu.

x + y = 6   |× 2|        2x + 2y = 12

2x + y = 8 |× 1|        2x + y = 8

Kemudian, kedua persamaan yang telah disetarakan dikurangkan

2x + 2y = 12

2x + y = 8 -

y = 4

diperoleh nilai y = 4

langkah ketiga, menentukan penyelesaian tersebut.

Diperoleh nilai x = 2 dan y = 4. Jadi, HP = {(2,4)}


C. Metode Campuran 
Penyelesaian  menggunakan metode gabungan yang dilakukan dengan cara menggabungkan dua metode yaitu metode eleminasi dan metode substitusi. Adapun langkah-langkah yang dapat dilakukan untuk menentukan penyelesaian  dengan menggunakan metode substitusi dapat kamu pelajari dalam contoh soal berikut
Gunakan metode gabungan untuk menentukan penyelesaian  berikut.
  x + y = 6                   
2x + y = 8                   
jawab :
Langkah pertama, tuliskan masing-masing persamaan dalam bentuk persamaan (1) dan (2)
x + y = 6             …(1)
2x+ y = 8            …(2)
Langkah kedua, eleminasi salah satu variabel, misalnya x, karena x memiliki koefisien yang sama
   x + y =  6
2x y =  8     -
       -x = -2
        x = 2
Langkah ketiga, setelah kita memperoleh nilai salah satu variabel yaitu y, kita substitusikan nilai x = 2 ke salah satu persamaan misalnya ke persamaan (2), sehingga kita peroleh
             2x + y = 8
          2(2) + y = 8
                     y = 8 - 4
      y = 4
Langkah keempat, menentukan penyelesaian  tersebut.
Diperoleh nilai x = 2 dan y = 4. Jadi, HP = {(2,4)}.